СОДЕРЖАНИЕ
Введение
1.
Первый
признак равенства треугольников
2.
Второй
признак равенства треугольников
3.
Третий
признак равенства треугольников
4.
Равнобедренные
треугольники
5.
Соотношения
между элементами треугольника
Решения
Введение
Обучение решению задач на доказательство – одна из основных целей преподавания геометрии в школе. Начинать это обучение желательно с самого начала изучения систематического курса геометрии. Для этого необходима серия тренировочных задач на доказательство, решение которых состоит из одного или двух шагов.
Даже решение задач на непосредственное применение изученных свойств и теорем требует выработки определенных навыков. Нужно уметь выбрать нужное свойство или теорему, необходимую для использования при решении задачи; проверить выполнимость всех условий; провести дополнительные построения; сделать выводы.
Данное пособие предназначено для тех, кто хочет научиться решать задачи на доказательство по геометрии. Оно содержит задачи на доказательство, использующие самые первые свойства и теоремы геометрии, среди которых признаки равенства треугольников, свойства равнобедренного треугольника, соотношения между сторонами и углами треугольника.
Решение этих задач позволяет лучше освоить теоретический материал и научиться применять его при решении задач. Оно не только способствует выработке соответствующих умений и навыков, но, что более важно, развивает логическое мышление, учит рассуждать, анализировать, аргументировать, обосновывать, доказывать.
Утверждения, сформулированные в пособии в виде задач на доказательство, могут быть использованы при решении различных вычислительных задач, а сами доказательства при этом будут являться частью их решений.
Все задачи сопровождаются рисунками, помогающими лучше понять условия задач, представить соответствующую геометрическую ситуацию, при необходимости провести дополнительные построения, наметить план доказательства.
Во второй части пособия даются решения всех задач.
Задачи, предлагаемые в пособии,
могут быть использованы непосредственно после изучения соответствующих свойств
и теорем в седьмом классе, при обобщающем повторении курса геометрии в девятом
классе, а также при подготовке к ГИА и ЕГЭ по математике.
1. Первый признак равенства треугольников
1.
На рисунке АВ=АС, АЕ=АD.
Докажите, что BD=CE.
2.
На
сторонах угла АОВ отложены равные отрезки ОС и ОD. Произвольная
точка E биссектрисы этого угла
соединена с точками С и D. Докажите, что ЕС = ЕD.
3.
На
сторонах угла CAD
отмечены точки B и E так,
что точка B лежит на стороне AC,
а точка E – на стороне AD,
причем AC = AD и AB
= AE. Докажите, что 
CBD = 
DEC.
4.
На
рисунке АО = ОВ и DO = OC. Докажите
равенство отрезков AD и ВС.
5.
В четырехугольнике ABCD AB = DC и
BAC = 
ACD. Докажите, что угол B
равен углу D.
6.
В
четырехугольнике ABCD AB = DC и
BAC = 
ACD. Докажите, что AD
= BC.
7.
На рисунке АВ = AD и 
BAC = 
DAC. Докажите, что BC = CD.
8.
На рисунке АВ = AD и 
BAC = 
DAC. Докажите, что 
B = 
D.
9. На рисунке 
A = 
B, AD = BC.
Докажите, что AC = BD,
10.
Точки A, B, C
принадлежат одной прямой. Точки D1 и D2 лежат
по разные стороны от этой прямой. Докажите, что если треугольники ABD1 и ABD2
равны, то треугольники BCD1 и BCD2 тоже
равны.
11.
На
каждой стороне правильного треугольника ABC последовательно отложены равные отрезки AD, BE, CF.
Докажите, что треугольник DEF
тоже правильный.
12.
На продолжении каждой стороны правильного
треугольника ABC последовательно отложены
равные отрезки BD, CE, AF. Докажите, что треугольник DEF
тоже правильный.
2. Второй признак равенства треугольников
1.
В
четырехугольнике ABCD 
1 = 
2 и 
3 = 
4. Докажите,
что АB = CD.
2.
В
четырехугольнике ABCD 
1 = 
2 и 
3 = 
4. Докажите,
что АB = AD.
3.
На
рисунке дана фигура, у которой AD = CF, 
ВAC = 
EDF, 
1 = 
2. Докажите,
что АВ = DE.
4.
Отрезки АВ
и CD пересекаются в точке О,
ОВ = ОС и 
B = 
C. Докажите, что АО
= DO.
5.
Отрезки АС
и BD пересекаются в точке О,
АО = ОС и 
A = 
C. Докажите, что ОВ
= OD.
6.
Лучи AD
и ВС пересекаются в точке О, 
1 = 
2, OC = OD. Докажите, что OA = OB.
7.
В
четырехугольнике ABCD 
DAB = 
CBА и
диагонали АС и BD
образуют со стороной АВ равные углы.
Докажите, что АС = BD.
8.
Треугольники АВС и А1В1С1 равны. Отрезки CD и C1D1
образуют со сторонами соответственно СВ
и С1В1 равные углы. Докажите, что AD = A1D1.
9. На рисунке BC = CD, 
B = 
D.
Докажите, что AC = CE.
3.
Третий признак равенства треугольников
1.
В четырехугольнике ABCD АВ = CD и BD = AC.
Докажите, что 
A = 
C.
2.
В четырехугольнике ABCD AD = BC и
AC = BD.
Докажите, что угол BAD равен углу ABC.
3.
На рисунке AD = CF, AB = FE, BC = ED. Докажите,
что 
1 = 
2.
4.
На рисунке AB = BC, AD = CD. Докажите, что 
1 = 
2.
5.
На рисунке AB = AD, CB = CD. Докажите, что 
B = 
D.
6.
На рисунке AD = CD, AO = OC. Докажите, что AB = BC.
7.
На рисунке AB = BC, AD = CD. Докажите, что AO = OC.
8.
Треугольники АВС
и BAD равны, причем точки С и D лежат по разные стороны от прямой АВ. Докажите, что треугольники CBD и DAC
равны.
9.
На рисунке АВ = CD, AD = BC, ВЕ - биссектриса угла АВС,
а DF - биссектриса угла ADC.
Докажите, что треугольники ABE и CDF
равны.
4. Равнобедренные
треугольники
1. На
рисунке 
DBC = 
DAC, BO = AO.
Докажите, что 
C = 
D.
2.
На рисунке 
DBC = 
DAC, BO = AO.
Докажите, что AC = BD.
3.
В треугольнике АВС
АВ = АС и 
1=
2.
Докажите, что 
3 = 
4.
4.
На рисунке AD = AE, 
CAD = 
BAE. Докажите, что BD = CE.
5.
На рисунке ABC AB = BC.
Докажите, что 
1 =
2.
6.
В треугольнике ABC AB = BC. Докажите, что 
1 =
2.
7.
На рисунке CD = BD, 
1 = 
2. Докажите, что 
ACB = 
ABC.
8.
На рисунке 
1 = 
2, 
5 = 
6. Докажите, что 
3 = 
4.
9.
На рисунке АВ = AD и DC = BC. Докажите, что 
ABC = 
ADC.
10.
На рисунке DC = BC и 
B = 
D. Докажите, что АВ = AD
11.
На рисунке AB = BC, CD = DE.
Докажите, что 
BAC = 
CED.
12.
На рисунке AB = BC, 
1 = 
2. Докажите, что AD = CD.
5.
Соотношения
между элементами треугольника
1.
На рисунке AB > BC.
Докажите, что 
1 >
2.
2.
На рисунке 
1 >
2. Докажите, что AB > BC.
3.
На
рисунке 
1 < 
2. Докажите, что 
A < 
B.
4.
На
рисунке 
A < 
B. Докажите, что 
1 < 
2.
5.
На рисунке 
1 = 
2, 
3 < 
4. Докажите, что CD < AB.
6.
На рисунке 
1 = 
2, CD < AB. Докажите, что 
3 < 
4.
7.
На рисунке AB = BC, AD < CD.
Докажите, что 
1 > 
2.
8.
На рисунке AB = BC, 
1 > 
2. Докажите, что AD < CD.
9.
На рисунке AB = AD, BC = CD, AB < BC.
Докажите, что 
A > 
C.
10.
На рисунке AB = AD, BC = CD, 
A > 
C. Докажите, что AB < BC.
11.
На рисунке AC > AB, CD = BD. Докажите, что 
ACD < 
ABD.
12.
На рисунке CD = BD, 
ACD < 
ABD.
Докажите, что AC > AB.
13.
На рисунке AB > BC, CD = DE. Докажите, что 
BAC < 
DEC.
14.
На рисунке CD = DE, 
BAC < 
DEC. Докажите, что AB > BC.
15.
На рисунке АВ = АС и 
1 >
2.
Докажите, что 
3 > 
4.
16.
На рисунке АВ = АС
и 
3 >
4.
Докажите, что 
1 > 
2.
17.
Докажите, что каждая сторона треугольника
меньше его полупериметра.
18.
Докажите, что если в треугольнике ABC выполняется
неравенство AC > BC,
то для высоты CH выполняется неравенство 
ACH > 
BCH.
19.
Докажите, что из двух высот треугольника
больше та, которая опущена на меньшую сторону.
20. Докажите, что высота треугольника меньше
полусуммы сторон, прилежащих к ней.
21. Докажите, что медиана треугольника меньше
его полупериметра.
Решения
1. Первый
признак равенства треугольников
1.
Треугольники
ABD и ACE равны по первому признаку
равенства треугольников (АВ=АС, АD = AE, угол A общий).
Следовательно, равны соответствующие стороны BD и CE этих треугольников.
2.
Треугольники
OCE и ODE равны по первому признаку
равенства треугольников (OC = OD, 
COE = 
DOE, сторона OE общая).
Следовательно, равны соответствующие стороны EC и ED этих треугольников.
3.
Треугольники
ABD и ACE равны по первому признаку
равенства треугольников (AC = AD,
АВ=АС, угол A общий). Следовательно, равны
соответствующие углы ABD и AEC. Из
равенства этих углов следует равенство смежных углов CBD и DEC.
4.
Треугольники
AOD и BOC равны по первому признаку
равенства треугольников (AO = BO,
DO=CO, 
AOD = 
BOC). Следовательно, равны
соответствующие стороны AD и ВС этих треугольников.
5.
Треугольники ABC и
CDA равны
по первому признаку равенства треугольников (AB = CD, AC –
общая сторона, 
BAC = 
ACD). Следовательно, равны
соответствующие углы B и D этих треугольников.
6.
Треугольники ABC и
CDA равны
по первому признаку равенства треугольников (AB = CD, AC –
общая сторона, 
BAC = 
ACD). Следовательно, равны
соответствующие стороны AD и BC этих треугольников.
7.
Треугольники ABC и
ADC равны
по первому признаку равенства треугольников (AB = AD, AC –
общая сторона, 
BAC = 
DAC). Следовательно, равны
соответствующие стороны BC и CD этих треугольников.
8.
Треугольники ABC и
ADC равны
по первому признаку равенства треугольников (AB = AD, AC –
общая сторона, 
BAC = 
DAC). Следовательно, равны
соответствующие углы B и D этих треугольников.
9.
Треугольники
ABC и BAD равны по первому признаку
равенства треугольников (AB – общая сторона, BC = AD, 
ABC = 
BAD). Следовательно, равны соответствующие
стороны AC и BD этих треугольников.
10.
Из равенства треугольников ABD1 и ABD2
следует равенство соответствующих сторон BD1 и BD2, а
также равенство соответствующих углов ABD1 и ABD2. Из
равенства указанных углов следует равенство смежных с ними углов CBD1 и CBD2.
Треугольники BCD1 и BCD2 равны
по первому признаку равенства треугольников (BD1 = BD2, BC –
общая сторона, 
CBD1 = 
CBD2.
11.
Из
равенства сторон правильного треугольника и равенства отрезков AD, BE и CF следует равенство отрезков AF, CE и BD. Треугольники ADF, BED и CFE равны
по первому признаку равенства треугольников (AD = BE
= CF, AF = BD
= CE, 
A = 
B = 
C).
Следовательно, равны соответствующие стороны DF, DE и EF этих треугольников. Значит, треугольник DEF тоже правильный.
12.
Из
равенства сторон правильного треугольника ABC и равенства отрезков BD, CE и AF следует равенство отрезков AD, BE и CF. Из равенства углов правильного треугольника ABC следует
равенство углов FAD, DBE и
ECF. Треугольники
ADF, BED и CFE равны
по первому признаку равенства треугольников (AD = BE
= CF, AF = BD
= CE, 
FAD = 
DBE = 
ECF).
Следовательно, равны соответствующие стороны DF, DE и EF этих треугольников. Значит, треугольник DEF тоже правильный.
2. Второй признак
равенства треугольников
1.
Треугольники ABC и
CDA равны
по второму признаку равенства треугольников (AC –
общая сторона, 
1 = 
2, 
3 = 
4).
Следовательно, равны их соответствующие стороны AB и
CD.
2.
Треугольники ABC и
ADC равны
по второму признаку равенства треугольников (AC –
общая сторона, 
1 = 
2, 
3 = 
4).
Следовательно, равны их соответствующие стороны AB и
AD.
3.
Из равенства углов 1 и 2
следует равенство смежных углов ACB и DFE. Из равенства отрезков AD и
CF следует
равенство отрезков AC и DF. Треугольники ACB и
DFE равны
по второму признаку равенства треугольников (AC = DF, 
ВAC
= 
EDF,
ACB = 
DFE). Следовательно, равны их соответствующие
стороны AB и DE.
4.
Треугольники AOC и
DOB равны
по второму признаку равенства треугольников (OC = OB, 
ACO = 
DBO, 
AOC = 
DOB). Следовательно, равны их соответствующие
стороны AO и DO.
5.
Треугольники AOB и
COD равны
по второму признаку равенства треугольников (AO = CO, 
OAB
= 
OCD,
AOB = 
DOC). Следовательно, равны их соответствующие
стороны OB и OD.
6.
Из равенства углов 1 и 2
следует равенство смежных с ними углов ACO и
BDO. Треугольники ACO и
BDO равны
по второму признаку равенства треугольников (CO = DO, 
ACO = 
BDO, 
AOC = 
BOD). Следовательно,
равны соответствующие стороны OA и OB этих
треугольников.
7.
Треугольники
ABC и BAD равны по второму признаку
равенства треугольников (AB – общая сторона, 
ABC = 
BАD, 
BAC = 
ABD. Следовательно,
равны соответствующие стороны АС и BD этих треугольников.
8.
Из
равенства треугольников АВС и А1В1С1
следует равенство соответствующих сторон BC и B1C1, а также соответствующих углов B и B1. Треугольники BCD и B1C1D1 равны по первому признаку равенства
треугольников (BC = B1C1, 
B = 
B1, 
BCD = 
B1C1D1). Следовательно, равны соответствующие стороны BD и
B1D1 этих треугольников. Из равенства треугольников АВС
и А1В1С1 следует
равенство соответствующих сторон AB и A1B1. Следовательно, имеет место
равенство отрезков AD и A1D1.
9.
Углы
ACB и ECD равны как вертикальные.
Треугольники ABC и EDC равны по второму признаку
равенства треугольников (BC = DC, 
ABC = 
EDC, 
ACB = 
ECD). Следовательно, равны
соответствующие стороны AC и CE этих
треугольников.
3. Третий признак равенства
треугольников
1.
В четырехугольнике ABCD проведем
диагональ BD. Треугольники
ABD и CDB равны по третьему признаку
равенства треугольников (AB = CD, AD = BC, BD – общая
сторона). Следовательно, равны соответствующие углы BAD и BCD этих
треугольников.
2.
Треугольники
ABC и BAD равны по третьему признаку равенства
треугольников (AD = BC, AC = BD, AB – общая
сторона). Следовательно, равны соответствующие углы BAD и ABC.
3.
Из
равенства отрезков AD и CF следует равенство отрезков AC и DF.
Треугольники ABC и FED равны по третьему признаку
равенства треугольников (AB = FE, BC = ED, AC = FD).
Следовательно, равны соответствующие углы ACB и FDE этих треугольников, а, значит,
равны и смежные с ними углы 1 и 2.
4.
Проведем
отрезок BD. Треугольники ABD и CBD равны по третьему признаку
равенства треугольников (AB = CB, AD = CD, BD – общая
сторона). Следовательно, равны соответствующие углы 1 и 2 этих
треугольников.
5.
Проведем
отрезок AC. Треугольники ABC и ADC равны по третьему признаку
равенства треугольников (AB = AD, BC = CD, AC – общая
сторона). Следовательно, равны соответствующие углы B и D этих треугольников.
6.
Треугольники
AOD и COD равны по третьему признаку
равенства треугольников (AO = CO, AD = CD, OD – общая
сторона). Следовательно, равны соответствующие углы ADO и CDO. Треугольники ABD и CBD равны по
первому признаку равенства треугольников (AD = CD, BD – общая
сторона, 
ADB = 
CDB).
Следовательно, равны соответствующие стороны
AB и BC этих треугольников.
7.
Треугольники
ABD и CBD равны по третьему признаку
равенства треугольников (AB = CB, AD = CD, BD – общая
сторона). Следовательно, равны соответствующие углы ABO и CBO. Треугольники ABO и CBO равны по
первому признаку равенства треугольников (AB = CB, BO – общая
сторона, 
ABO = 
CBO).
Следовательно, равны соответствующие стороны
AO и CO этих треугольников.
8.
Из
равенства треугольников АВС и BAD
следует равенство соответствующих сторон AC и BD, BC и AD. Треугольники CBD и DAC равны
по третьему признаку равенства треугольников (CB = DA, BD = AC, CD – общая
сторона.
9.
Треугольники
ABC и ADC равны по третьему признаку
равенства треугольников (АВ = CD, AD = BC, AC – общая
сторона). Следовательно, равны соответствующие углы ABC и CDA, BAC и DCA. Из
равенства углов ABC и CDA следует равенство углов ABE и CDF. Треугольники ABE и CDF равны
по второму признаку равенства треугольников (AB = CD, 
BAE = 
DCF, 
ABE = 
CDF).
4. Равнобедренные треугольники
1.
Треугольник
ABO равнобедренный и, следовательно, 
OAB = 
OBA. Учитывая равенство углов DAC и
DBC, получаем равенство углов ABD и
BAC. Треугольники ABC и
BAD равны по второму признаку
равенства треугольников (AB – общая сторона, 
ABC = 
BAC, 
BAC = 
ABD).
Следовательно, равны соответствующие углы C и D этих треугольников.
2.
Треугольник
ABO равнобедренный и, следовательно, 
OAB = 
OBA. Учитывая равенство углов DAC и
DBC, получаем равенство углов ABD и
BAC. Треугольники ABC и
BAD равны по второму признаку
равенства треугольников (AB – общая сторона, 
ABC = 
BAC, 
BAC = 
ABD).
Следовательно, равны соответствующие стороны AC = BD этих
треугольников.
3.
Треугольник
ABC равнобедренный. Следовательно, 
B = 
C. Треугольники ABE и
ACD равны
по второму признаку равенства треугольников (AB = AC, 
1=
2, 
B = 
C). Следовательно, равны соответствующие стороны AE и
AD этих
треугольников. Треугольник AED равнобедренный.
Следовательно, 
3 = 
4.
4.
Треугольник
ADE равнобедренный. Следовательно, 
D = 
E. Треугольники ACD и
ABE равны
по второму признаку равенства треугольников (AD = AE, 
D=
E, 
CAD = 
BAE). Следовательно, равны соответствующие стороны CD и
BE. Значит, равны и отрезки BD и CE.
5.
Треугольник
ABC равнобедренный. Следовательно, 
A = 
C. Значит,
равны и смежные с ними углы 1 и 2.
6.
Треугольник
ABC равнобедренный. Следовательно, 
A = 
1. Углы A
и 2 равны как вертикальные. Значит, 
1 =
2.
7.
Треугольники
ABD и ACD равны по первому признаку
равенства треугольников (AD – общая сторона, BD = CD, 
ADB = 
ADC).
Следовательно, равны соответствующие стороны AB и AC этих треугольников. Треугольник ABC равнобедренный
и, значит, 
ACB = 
ABC.
8.
Треугольники
ABС и ABD равны по второму признаку
равенства треугольников (AИ – общая сторона, 
ABC = 
ABD, 
BAC = 
BAD).
Следовательно, равны соответствующие стороны BC и BD этих треугольников. Треугольник BCD равнобедренный
и, значит, 
3 = 
4.
9.
Проведем
отрезок BD. Треугольник ABD равнобедренный (AB = AD).
Следовательно, 
ABD = 
ADB. Треугольник CBD равнобедренный
(CB = CD). Следовательно, 
CBD = 
CDB. Значит, 
ABC = 
ADC.
10.
Проведем
отрезок BD. Треугольник BCD равнобедренный (BC = DC).
Следовательно, имеет место равенство 
DBC = 
BDC. Из этого равенства и
равенства углов ABC и ADC следует равенство углов ABD и ADB. Значит,
треугольник ABD – равнобедренный и,
следовательно, АВ = AD.
11.
Треугольник
ABC – равнобедренный и, следовательно, 
BAC = 
BCA. Треугольник CDE –
равнобедренный и, следовательно, 
DCE = 
DEC. Углы BCA и DCE равны
как вертикальные. Следовательно, 
BAC = 
DEC.
12.
Проведем
отрезок AC. Треугольник ABC равнобедренный (AB = BC). Следовательно,
BAC = 
BCA. Из этого равенства и равенства
углов 1 и 2 следует равенство углов DAC и DCA. Значит, треугольник DAC равнобедренный
и, следовательно, AD = CD.
5. Соотношения между
элементами треугольника
1.
Так как против большей стороны треугольника лежит
больший угол, то из неравенства AB > BC
следует неравенство 
BAC <
BCA.
Значит, для соответствующих смежных углов выполняется неравенство 
1 >
2.
2.
Из неравенства 
1 >
2 следует неравенство 
BAC <
BCA. Так
как против большего угла треугольника лежит большая сторона, то выполняется
неравенство AB > BC.
3.
В треугольниках AOC и BOD углы AOC и BOD равны
как вертикальные. Так как внешний угол треугольника равен сумме двух
внутренних, не смежных с ним углов, то из неравенства 
1 <
2 следует неравенство 
A <
B.
4.
В треугольниках AOC и BOD углы AOC и BOD равны
как вертикальные. Так как внешний угол треугольника равен сумме двух
внутренних, не смежных с ним углов, то из неравенства 
A < 
B следует неравенство 
1 < 
2.
5.
Через точку C проведем прямую, параллельную AD, и ее точку пересечения с
прямой AB обозначим E. Так
как 
3 < 
4 и 
3 = 
ACE, то точка E будет
внутренней точкой отрезка AB. Четырехугольник ABCE –
параллелограмм и, следовательно, CD = AE < AB.
6.
На отрезке AB возьмем точку E так,
что AE = CD. Четырехугольник ABCE –
параллелограмм. Следовательно, 
3 = 
ACE и,
значит, 
3 < 
4.
7.
В четырехугольнике ABCD проведем
диагональ AC.
Треугольник ABC равнобедренный и, следовательно, 
BAC = 
BCA. В треугольнике ACD AD < CD и,
следовательно, 
DAC > 
DCA. Значит,
1 > 
2.
8.
В четырехугольнике ABCD проведем
диагональ AC.
Треугольник ABC равнобедренный и, следовательно, 
BAC = 
BCA. Из неравенства 
1 > 
2 следует неравенство 
DAC > 
DCA. Так как против большего угла треугольника лежит
большая сторона, то в треугольнике ACD выполняется неравенство AD < CD.
9.
В четырехугольнике ABCD проведем
диагональ AC. Так
как против большей стороны треугольника лежит больший угол, то 
DAC > 
DCA и 
BAC > 
BCA. Значит,
в четырехугольнике ABCD 
A > 
C.
10. В
четырехугольнике ABCD проведем диагональ AC. Треугольники ABC и ADC равны
по третьему признаку равенства треугольников. Следовательно, 
BAC = 
DAC, 
BCA = 
DCA. Значит, из неравенства 
A > 
C следует неравенство 
BAC > 
BCA. Так как против большего угла треугольника лежит
большая сторона, то в треугольнике ABC выполняется неравенство AB < BC.
11. Так
как против большей стороны треугольника лежит больший угол, то в треугольнике ABC выполняется
неравенство 
ACB < 
ABC. Треугольник
BCD равнобедренный и, следовательно, 
DCB = 
DBC. Значит,
ACD < 
ABD.
12. Треугольник BCD равнобедренный и, следовательно, 
DCB = 
DBC. Значит,
ACB < 
ABC. Так
как против большего угла треугольника лежит большая сторона, то в треугольнике ABC выполняется неравенство AC > AB.
13. Так
как против большей стороны треугольника лежит больший угол, то в треугольнике ABC выполняется
неравенство 
BAC < 
BCA. Треугольник
CDE равнобедренный и, следовательно, 
DEC = 
DCA. Углы
BCA и DCE равны как вертикальные.
Значит, 
BAC < 
DEC.
14. Треугольник
CDE равнобедренный и, следовательно,
DEC = 
DCA. Углы
BCA и DCE равны как вертикальные.
Значит, 
BAC < 
DEC. Так как против большего угла треугольника лежит
большая сторона, то в треугольнике ABC выполняется неравенство AB > BC.
15. Треугольник
ABC равнобедренный и,
следовательно, 
B = 
C. Так
как внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, не
смежных с ним углов, то из равенства углов B, C и неравенства 
1 >
2 следует
неравенство 
3 > 
4.
16. Треугольник ABC равнобедренный и, следовательно, 
B = 
C. Так
как внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, не
смежных с ним углов, то из равенства углов B, C и неравенства 
3 >
4 следует
неравенство 
1 > 
2.
17.
Воспользуемся
тем, что каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. В
треугольнике ABC имеем: AB
< AC + BC. Прибавляя к обеим частям
этого неравенства AB, получим 2AB < AB
+ BC + AC. Следовательно, AB
< 
( AB + BC + AC).
18.
Из
неравенства AC > BC
для наклонных следует неравенство AH > BH
для их проекций. На отрезке AH отложим отрезок HD,
равный HB. Прямоугольные треугольники BCH и DCH
равны по двум катетам, следовательно, 
ACH > 
CDH = 
BCH.
19. Пусть в треугольнике ABC AC > BC, AA1, BB1 – высоты. Воспользуемся
тем, что площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту,
опущенную на эту сторону. Получим равенство
. Из этого равенства и неравенства AC
> BC, следует, что AA1 > BB1.
20. Пусть CC1
– высота треугольника ABC. Воспользуемся тем, что
перпендикуляр короче наклонной, проведенной из той же точки к той же прямой.
Тогда CC1 < AC и CC1 < BC. Складывая эти два
неравенства, получим СС1 < 
(AC + BC).
21. Пусть CC1
– медиана треугольника ABC. Воспользуемся тем, что
каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. Тогда CC1 < AC + AC1, CC1 < BC +
BC1. Складывая эти неравенства, получим CC1 < 
(AC + BC + AB).
