МОСКОВСКИЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ПРОГРАММА
ПО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ
Специальность: 032100 – Математика
Москва
2003
Программа подготовлена под редакцией доктора физико-математических наук, профессора, чл. корр. РАН, академика РАО, ректора Московского педагогического государственного университета В.Л.Матросова
Составитель: доктор физико-математических наук, профессор, зав. кафедрой элементарной математики Московского педагогического государственного университета В.А.Смирнов
Рекомендовано
Учебно-методическим Объединением
высших учебных заведений по педагогическому образованию
Рецензенты:
Доктор физико-математических наук, профессор кафедры дифференциальной геометрии и приложений Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова Ю.П. Соловьев
Доктор физико-математических наук, профессор кафедры математического анализа Московского городского педагогического университета П.В.Семенов
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Элементарная математика – уникальный раздел, присущий только математике. В других науках элементарных разделов, как правило, не выделяется. Так, например, нет элементарной химии, элементарной биологии, элементарной географии и т.д.
Своеобразие преподавания математики в школе состоит в том, что в отличие от других дисциплин, в школе изучается, в основном элементарная математика. Таким образом, от того насколько успешным будет подготовка выпускников педагогических университетов в области элементарной математики, во многом зависит успешность их работы учителем математики в школе.
В предлагаемой модели учитель математики это специалист в области элементарной математики, который:
а) знает основные понятия школьного курса математики, с точки зрения заложенных в них фундаментальных математических идей;
б) владеет важнейшими методами элементарной математики, умеет применять их для доказательства теорем и решения задач;
в) знаком с современными направлениями развития элементарной математики и их приложениями;
г) знает литературу по элементарной математике (учебники и сборники задач, книги, статьи в журналах и т.д.).
Изучение курса элементарной математики должно выработать у студентов интерес к вопросам элементарной математики, создать у них содержательную основу для:
а) работы в школе по различным учебникам математики;
б) работы в классах различной профильной направленности и индивидуальной работы с учащимися;
в) проведения со школьниками кружков, спецкурсов, факультативных занятий и олимпиад по математике.
Выделение элементарной математики в отдельную дисциплину не означает, что преподавание курсов высшей математики в педагогических университетах освобождается от профессиональной направленности обучения, а курс методики преподавания математики освобождается от вопросов содержания математического образования.
Элементарная математика, курсы высшей математики, методика преподавания математики вносят свой вклад в формирование будущего учителя математики, дополняя и обогащая друг друга. Одно и то же понятие школьного курса математики может быть рассмотрено с разных сторон и в курсе элементарной математики и в курсах высшей математики и в курсе методики преподавания математики.
Так, например, в курсе математического анализа используется школьное определение тригонометрических функций. Систематическое изучение тригонометрических функций, как правило, не проводится. Основной целью здесь является вывод первого замечательного предела, доказательство непрерывности тригонометрических функций, нахождение их производных. В курсе элементарной математики можно провести систематическое изучение тригонометрических функций, проанализировать различные подходы к их определению, доказать свойства тригонометрических функций, рассмотреть методы решения тригонометрических уравнений и неравенств, научить решать задачи повышенной трудности и олимпиадного характера. В курсе методики преподавания математики, опираясь на уже полученные студентами знания, умения и навыки, можно рассмотреть методику изучения тригонометрических функций в школьном курсе математики.
В курсе элементарной математике можно проследить развитие того или иного понятия, входящего в школьный курс математики от его истоков до современных представлений. К числу таких понятий можно отнести понятия числа, функции, кривой и т.д. Например, кривые могут быть рассмотрены как: геометрические места точек; траектории движения точек; заданные уравнениями в декартовых и полярных координатах; заданные параметрическими уравнениями и т.д. Наконец, может быть дано общее определение кривой, как одномерного континуума. Теорема о сумме углов многоугольника может быть распространена на случай невыпуклых и звездчатых многоугольников и т.д.
Еще одной составляющей преподавания элементарной математики является знакомство студентов с научно-популярной литературой и с некоторыми современными направлениями развития математики, не охватываемыми курсами высшей математики педагогических университетов. Среди литературы, посвященной этим вопросам, выделим серии книг «Популярные лекции по математике» государственного издательства физико-математической литературы, «Математическое просвещение» издательства Московского центра непрерывного математического образования, журналы: Квант, Математика в школе, Математическое образование, Соросовский образовательный журнал и др.
В элементарной математике выделяется раздел с условным названием «Занимательная математика», содержание которого может быть использовано учителем математики на отдельных этапах урока, при организации кружковой и факультативной работы с учащимися. Имеется прекрасная литература по «занимательной математике», связанная с именами С. Барра, М.Гарднера, А.П.Доморяда, Е.И.Игнатьева, Г.С.М. Коксетера, Б.А.Кордемского, Я.И.Перельмана, Ч.Тригга, Г.Штейнгауза и др. Она также должна найти отражение в преподавании элементарной математики в педагогических университетах.
Некоторые вопросы элементарной математики, среди которых: числа (натуральные, целые, рациональные, действительные, комплексные), многочлены, векторы, преобразования (движение, гомотетия, подобие), методы изображений, метод координат и др., в настоящее время подробно изучаются в основных курсах алгебры, геометрии, математического анализа и теории чисел. Поэтому они не вошли полностью в данную программу по элементарной математике.
На реализацию программы планируется около 450 часов аудиторных занятий со студентами. Предполагается следующее распределение изучения разделов элементарной математики по курсам.
2-ой курс (второй семестр) – арифметика;
3-ий курс – алгебра;
4-ый курс – геометрия (планиметрия);
5-ый курс – алгебра и начала анализа, геометрия (стереометрия).
Более глубокое изучение отдельных вопросов элементарной математики может быть осуществлено в рамках спецкурсов, спецсеминаров, кружковых и факультативных занятий по элементарной математике, через написание курсовых, дипломных и выпускных квалификационных работ, магистерских диссертаций.
Отзывы и предложения по данной программе можно направлять по адресу:
107140, Москва, Краснопрудная ул., д. 14. Математический факультет МПГУ, кафедра элементарной математики;
или по электронной почте: V.Smirnov@ru.net
ПРОГРАММА ПО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ
АРИФМЕТИКА
Числа. Натуральные числа и их свойства. Сложение, умножение, отношение порядка. Математическая индукция.
Целые числа. Отношение делимости. Признаки делимости на 3, 5, 7, 9, 11. Теорема о делении с остатком. Методы сокращенного умножения, деления и извлечения корней.
Простые числа. Бесконечность множества простых чисел. Существование в натуральном ряду отрезков произвольной длины, не содержащих простых чисел. Решето Эратосфена. Каноническое разложение натурального числа. Основная теорема арифметики.
Наибольший общий делитель (НОД) и наименьшее общее кратное (НОК), их свойства. Канонические представления НОК и НОД.
Алгоритм Евклида и его приложения. Неопределенные уравнения первой степени. Необходимое и достаточное условия их разрешимости. Формула всех целочисленных решений. Способы решения неопределенных уравнений первой степени. Пифагоровы тройки и треугольные числа.
Факторизация натуральных чисел. Критерий Эйлера простоты числа. Факторизация натуральных чисел с помощью построения рекурентной последовательности.
Числа Мерсена. Классические задачи, связанные с числами Мерсена. Совершенные числа. Теоремы Евклида и Эйлера о четных совершенных числах.
Числа Ферма и их свойства. Теорема о простых делителях чисел Ферма. Числа Ферма и задача построения правильных многоугольников. Числа Ферма и бесконечность множества простых чисел в арифметических прогрессиях.
Целые систематические числа. Арифметические операции над целыми числами в различных системах счисления. Способы перевода из одной системы счисления в другую. Признаки делимости в различных системах счисления.
Систематические дроби. Определение g-ичной дроби. Представление рационального числа в виде g-ичной дроби. Перевод обыкновенных дробей в g-ичные и обратный перевод. Критерий обращения обыкновенной дроби в конечную, чисто периодическую и смешанную периодическую g-ичную дробь. Вычисление длин периода и предпериода g-ичных дробей.
Олимпиадные задачи по арифметике.
АЛГЕБРА
Метод математической индукции и его применение к доказательству тождеств, неравенств и теорем.
Уравнения. Корни уравнений. Равносильные уравнения. Задачи на составление уравнений.
Алгебраические уравнения. Квадратный трехчлен и его исследование. Трехчленные уравнения, сводимые к квадратным. Понижение степени возвратных уравнений. Другие элементарные приемы решения некоторых уравнений высших степеней. Дробно-рациональные уравнения.
Иррациональные, показательные и логарифмические уравнения. Способы решения.
Уравнения с параметрами и методы их решения. Уравнения с модулем. Графические приемы решения уравнений.
Тригонометрические уравнения. Способы решения. Решение рациональных тригонометрических уравнений приведением к алгебраическому уравнению. Графические приемы решения тригонометрических уравнений.
Системы уравнений. Равносильность двух систем уравнений. Линейные системы уравнений и их решение. Элементарные методы решения нелинейных систем уравнений. Графические приемы решения систем уравнений.
Неравенства. Множество решений неравенств. Равносильные неравенства. Алгебраические неравенства (линейные, квадратные, высших степеней). Дробно-рациональные неравенства. Иррациональные, показательные и логарифмические неравенства. Тригонометрические неравенства. Графические методы решения неравенств. Неравенства с модулем. Неравенства с параметрами. Системы неравенств.
Олимпиадные задачи по алгебре.
КОМБИНАТОРИКА
Понятие выборки. Сочетания, размещения, перестановки (без повторений) и формулы для вычисления их числа. Правила сложения и умножения и их применение для решения комбинаторных задач. Метод включения и исключения. Решение задач на составление дерева событий.
Вероятность события. Комбинаторные задачи на вычисление вероятности.
Выборки с повторениями. Сочетания, размещения, перестановки с повторениями и формулы для вычисления их числа.
Полиномиальная теорема. Бином Ньютона. Количество решений
уравнений вида x1 + … + xk
= m в натуральных и целых неотрицательных числах.
Комбинаторные тождества. Производящие функции.
Олимпиадные задачи по комбинаторике.
АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА
Функции и графики. Способы задания функций. Элементарное исследование функций. Композиция функций. Обратная функция. Преобразования графиков функций.
Степенные и дробно-рациональные функции и их графики.
Показательная функция. Различные способы определения. Свойства показательной функции. Число e.
Логарифмическая функция. Различные способы определения. Свойства логарифмической функции.
Тригонометрические функции. Различные способы определения. Свойства тригонометрических функций. Число p. Обратные тригонометрические функции и их свойства.
Классические неравенства. Неравенство Коши. Средние величины. Среднее арифметическое, среднее геометрическое, среднее гармоническое и среднее квадратическое. Приложение неравенств к элементарному нахождению экстремумов.
Числовые последовательности и ряды. Различные способы задания. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Числа Фибоначчи и возвратные последовательности.
Основные теоремы о непрерывных функциях и их приложения к решению задач.
Кривые, заданные уравнением в декартовых координатах: парабола, эллипс, гипербола, лемниската Бернулли, конхоида Никомеда, строфоида, лист Декарта и др.
Кривые, заданные уравнением в полярных координатах: спираль Архимеда, логарифмическая спираль, трилистник, n-лепестковые розы и др.
Кривые, заданные параметрическими уравнениями: прямая, окружность, лист Декарта, циклоида, кардиоида и др.
Поверхности, заданные уравнением в декартовых, цилиндрических и сферических координатах.
Параметрическое задание кривых и поверхностей в пространстве.
Олимпиадные задачи по алгебре и началам анализа.
ГЕОМЕТРИЯ
Планиметрия
Различные аксиоматики евклидовой геометрии и их сравнение. Роль аксиомы параллельных и аксиомы непрерывности. Абсолютная геометрия.
Понятие многоугольника. Выпуклые, невыпуклые и звездчатые многоугольники. Теорема Жордана. Теорема о проведении диагонали многоугольника.
Сумма углов выпуклых, невыпуклых и звездчатых многоугольников.
Теорема Эйлера для многоугольников. Задача о трех домиках и трех колодцах.
Заполнение плоскости многоугольниками. Паркеты. Искусство М.Эшера.
Задачи о раскрашивании карт на плоскости. Проблема четырех красок.
Замечательные точки и линии в треугольнике. Точка Торричелли. Окружность девяти точек. Прямые Эйлера и Симпсона. Окружность Аполлония. Теоремы Менелая, Чевы, Стюарта.
Золотое сечение. Золотые прямоугольники и треугольники. Пентаграмма.
Вписанные и описанные многоугольники. Формула Эйлера для треугольника. Необходимые и достаточные условия вписанности и описанности четырехугольника. Теорема Птолемея.
Геометрические места точек (ГМТ): серединный перпендикуляр, биссектриса и др. Кривые, как геометрические места точек.
Задачи на построение с помощью циркуля и линейки. Общие методы решения задач на построение (метод геометрических мест, метод преобразований, алгебраический метод). Критерий разрешимости задач на построение циркулем и линейкой. Примеры неразрешимых классических задач. Построение правильных многоугольников. Построения одним циркулем. Построения одной линейкой. Построения на ограниченной части плоскости.
Площадь и ее свойства. Формулы для площадей треугольников и четырехугольников. Равновеликость и равносоставленность. Задачи на разрезание.
Экстремальные задачи. Задача Герона, задача Штейнера, изопериметрическая задача и др.
Векторы. Различные подходы к определению понятия вектора. Применение векторов к решению задач.
Олимпиадные задачи по геометрии.
Стереометрия
Аксиомы стереометрии. Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве.
Многогранные углы. Сумма плоских углов выпуклого многогранного угла. Неравенства с трехгранными углами. Признаки равенства трехгранных углов. Теоремы синусов и косинусов для трехгранных углов.
Многогранники. Различные подходы к определению многогранника. Выпуклые и невыпуклые многогранники. Теорема Эйлера для выпуклых многогранников. Развертка многогранника. Теорема Коши.
Виды тетраэдров: ортоцентрический, равногранный, прямоугольный. Прямая Эйлера для ортоцентрического тетраэдра. Первая и вторая сферы Эйлера. Пространственный аналог теоремы Пифагора.
Правильные многогранники (тела Платона). Существование пяти типов правильных многогранников. Симметрия правильных многогранников.
Полуправильные многогранники (тела Архимеда). Двойственные многогранники. Равногранно полуправильные многогранники.
Звездчатые многогранники (тела Кеплера-Пуансо).
Заполнение пространства многогранниками. Тела Федорова.
Тела вращения. Цилиндр, конус, шар. Сечения цилиндра плоскостью. Конические сечения. Вписанные и описанные многогранники.
Поверхности в пространстве. Понятие ориентации. Ориентируемые и неориентируемые поверхности: сфера, тор, геликоид, лист Мебиуса, бутылка Клейна, проективная плоскость и др.
Изображение пространственных фигур на плоскости. Параллельное проектирование и его свойства. Ортогональное проектирование. Центральное проектирование. Использование компьютерных графических средств для изображения пространственных фигур.
Задачи на построение в пространстве и методы их решения.
Объем и его свойства. Принцип Кавальери. Равновеликость и равносоставленность многогранников. Третья проблема Гильберта. Теорема Дена. Площадь поверхности. Цилиндр Шварца.
Векторы. Применение векторов к решению задач. Центр масс.
Декартовы, цилиндрические и сферические координаты в пространстве. Аналитическое задание пространственных фигур.
Элементы сферической геометрии. Сферические многоугольники и их связь с многогранными углами. Площадь сферических многоугольников. Теоремы синусов и косинусов.
Олимпиадные задачи по геометрии.
ЛИТЕРАТУРА
1. Г.Вебер, И.Вельштейн, В.Якобсталь. Энциклопедия элементарной математики. Руководство для преподающих и изучающих элементарную математику. В трех томах. Перевод с немецкого под редакцией и с примечаниями В.Кагана. – Одесса, 1913.
2.
Энциклопедия элементарной математики, книги I-V. – М.: Физматгиз, Москва,
1961 - 1966.
3.
Энциклопедический словарь юного математика. – М.: Педагогика, 1997.
4. Школьная
энциклопедия. Математика. – М.: Дрофа, 1997.
5.
Энциклопедия для детей. Математика. – М.: Аванта+, 2001.
II. Книги по элементарной математике
1. Адамар Ж.
Элементарная геометрия. Части I, II. Учпедгиз, Москва, 1948,
1951.
2. Болтянский
В.Г. Элементарная геометрия. – М.: Просвещение, 1985.
3.
Н.Я.Виленкин. Комбинаторика. – М.: Наука, 1969.
4.
Н.Я.Виленкин, Л.П.Шибасов, З.Ф.Шибасова. За страницами учебника математики.
Книга для учащихся 10-11 классов общеобразовательных учреждений. – М.:
Просвещение, 1996.
5. В.В.Зайцев,
В.В.Рыжков, М.И.Сканави. Элементарная математика. – М.: Наука, 1974.
6. Ф.Клейн.
Элементарная математика с точки зрения высшей. Т. I,
II. – М.: Наука, 1987.
7.
Г.С.М.Кокстер. Введение в геометрию. – М.: Наука, 1966.
8.
Г.С.М.Коксетер, С.Л.Грейтцер. Новые встречи с геометрией. – М.: Наука, 1978.
9. Р.Курант,
Г.Роббинс. Что такое математика. – М. Просвещение, 1967.
10.
С.И.Новоселов. Специальный курс элементарной алгебры. – М.: Высшая школа, 1969.
11. О.Оре.
Приглашение в теорию чисел. – М.: Наука, 1980.
12. Перепелкин
Д.И. Курс элементарной геометрии. Части I, II. ОГИЗ, Гостехиздат. Москва,
Ленинград, 1948, 1949.
13. Г.Райзер.
Комбинаторная математика. – М.: Мир, 1966.
14.
Г.Радемахер, О.Теплиц. Числа и фигуры. – М.: Наука, 1966.
15.
А.А.Савелов. Плоские кривые. – М.: Государственное издательство
физико-математической литературы, 1960.
16. Л.Л.
Степанова. Избранные главы элементарной теории чисел. Учебное пособие. –
М.:Прометей, 2001.
17. Л.Феликс.
Элементарная математика в современном изложении. – М.: Просвещение, 1967.
18. М.Холл.
Комбинаторика. – М.: Мир, 1970.
19. Серия книг
«Популярные лекции по математике». – М.: Государственное издательство
физико-математической литературы.
20. Серия книг
«Математическое просвещение». – М.: Издательство Московского центра
непрерывного математического образования.
21. Статьи в
журналах: Квант, Математика в школе, Математическое образование, Соросовский
образовательный журнал.
1. Б.Делоне и
О.Житомирский. Задачник по геометрии. – Москва, Ленинград.: Государственное
издательство технико-теоретической литературы.
2.
Г.В.Дорофеев, М.К.Потапов, Н.Х.Розов. Пособие по математике для поступающих в
Вузы. – М.: Наука, 1971.
3.
Г.В.Дорофеев, Г.К.Муравин, Е.А.Седова. Математика. Подготовка к письменному
экзамену за курс средней школы. Решение задач с методическими рекомендациями.
11 класс. – М.: Дрофа, 2001.
4. Е.Б.Дынкин,
С.А.Молчанов, А.Л.Розенталь, А.К.Толпыго. Математические задачи. – М.: Наука,
1971.
5.
В.В.Прасолов. Задачи по планиметрии. Части I, II. – М.: Наука, 1986.
6.
В.В.Прасолов, И.Ф.Шарыгин. Задачи по стереометрии. – М.: Наука, 1989.
7. В.В.
Произволов. Задачи на вырост. – М.: Мирос, 1995.
8. Сборник
задач по математике (под ред. М.И.Сканави). – М.: Высшая школа, 1972.
9.
В.Серпинский. 250 задач по элементарной теории чисел. – М.: Просвещение, 1968.
10.
И.Х.Сивашинский. Неравенства в задачах. – М.: Наука, 1967.
11. Ч.Тригг.
Задачи с изюминкой. – М.: Мир, 1975.
12. Ч.Тригг.
Избранные задачи. – М.: Мир, 1977.
13.
Д.О.Шклярский, Н.Н.Ченцов, И.М.Яглом. Избранные задачи и теоремы элементарной
математики. Части 1-3. – М.: Государственное издательство технико-теоретической
литературы, 1950, 1952, 1954.
14. А.М.Яглом
и И.М.Яглом. Неэлементарные задачи в элементарном изложении. – М.:
Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1954.
1.
Н.Б.Васильев, В.Л.Гутенмахер и др. Заочные математические олимпиады. – М.:
Наука, 1986.
2.
Н.Б.Васильев, А.А.Егоров. Задачи всесоюзных математических олимпиад. – М.:
Наука, 1988.
3.
Г.А.Гальперин, А.К.Толпыго. Московские математические олимпиады. – М.:
Просвещение, 1986.
4. Зарубежные
математические олимпиады. Под ред. И. Н. Сергеева. – М.: Наука, 1987.
5. Л.П.Купцов,
Ю.В.Нестеренко и др. Математические олимпиады школьников. – М.: Просвещение,
1999.
6. А. А.
Леман. Сборник задач московских математических олимпиад. М. Просвещение, 1965.
7.
И.С.Петраков. Математические олимпиады школьников. – М.: Просвещение, 1982.
8. А. П. Савин
и др. Физико-математические олимпиады. – М.: Знание, 1977.
9.
С.Страшевич, Е.Бровкин. Польские математические олимпиады. – М.: Мир, 1978.
10. Д.В.
Фомин, Ленинградские математические олимпиады, С-Пб,1994.
11.
П.В.Чулков. Школьные олимпиады, 5-6 классы. – М.: НЦ ЭНАС, 2003.
12. Г. Н. Яковлев,
Л.П. Купцов, С. В. Резниченко, П. Б. Гусятников. Всероссийские математические
олимпиады школьников. – М.:
Просвещение, 1992.
1. И.И.Баврин, Е.А.Фрибус. Старинные задачи. – М.: Просвещение, 1994.
2. Ст. Барр. Россыпи Головоломок. – М.: Мир, 1987.
3. У.Болл, Г.Коксетер. Математические Эссе и развлечения. – М.: Мир, 1986.
4. М.Гарднер. Математические головоломки и развлечения. – М.: Мир, 1971.
5. М.Гарднер. Математические досуги. – М.: Мир, 1972.
6. А.П.Доморяд. Математические игры и развлечения. – М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1961.
7. Е.И.Игнатьев. В царстве смекалки. – М.: Наука, 1982.
8. Б.А.Кордемский. Математическая смекалка. – М.: Наука, 1991.
9. С.Н.Олехник, Ю.В.Нестеренко, М.К.Потапов. Старинные занимательные задачи. – М.: Наука, 1988.
10. Я.И.Перельман. Занимательные задачи и опыты. – Д.: ВАП, 1994.
11. Я.И.Перельман. Занимательная геометрия. – Д.: ВАП, 1994.
12. Г.Штейнгауз. Задачи и размышления. – М.: Мир: 1974.