ТЕОРЕМЫ МЕНЕЛАЯ, ЧЕВЫ, ВАН-ОБЕЛЯ

    Рассмотрим общие теоремы, позволяющие устанавливать, в каком случае три точки, лежащие на сторонах треугольника или их продолжениях, принадлежат одной прямой (теорема Менелая), а также, в каком случае три прямые, проходящие через вершины треугольника и противоположные им стороны треугольника, пересекаются в одной точке (теорема Чевы).
    Начнем с теоремы Менелая, доказанной древнегреческим математиком и астрономом Менелаем Александрийским, жившим в I веке до нашей эры.
    Теорема (Менелая). Пусть на сторонах AB, BC и продолжении стороны AC треугольника ABC взяты соответственно точки C₁, A₁ и B₁. Точки A₁, B₁, C₁ лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполняется равенство

(*) 

    Доказательство. Необходимость. Предположим, что точки A₁, B₁, C₁ принадлежат одной прямой a (рис. 1).

    Через вершину C треугольника ABC проведем прямую, параллельную a и обозначим через C' точку ее пересечения с AB. Из подобия треугольников AC'C и AC₁B следует выполнимость равенства

Аналогично, из подобия треугольников BC'C и BC₁A₁следует выполнимость равенства

Перемножая эти равенства, получим равенство

из которого следует требуемое равенство.

Приведем еще один способ доказательства необходимости. Предположим, что точки A₁, B₁, C₁ принадлежат одной прямой a. Из вершин треугольника ABC опустим на эту прямую перпендикуляры AA’, BB’, CC’ (рис. 2).

Из подобия треугольников AC₁A’ и BC₁B’ следует равенство  Аналогично, из подобия треугольников BA₁B’ и CA₁C’, B₁CC’ и B₁AA’ следуют равенства Перемножая все три эти равенства, получим требуемое равенство (*).
    Достаточность. Пусть на сторонах AB, BC и продолжении стороны AC треугольника ABC взяты соответственно точки C₁, A₁и B₁, для которых выполняется равенство (*). Прямая A₁B₁пересекает прямую AB в точке C'. По доказанному, выполняется равенство

Учитывая равенство (*), получаем равенство

из которого следует совпадение точек C' и C₁. Значит, точки A₁, B₁, C₁ принадлежат одной прямой.

Пример 1. Точка C₁ – середина стороны AB треугольника ABC (рис. 3). Точка B₁ лежит на продолжении стороны AC и AC = CB₁. В каком отношении делит прямая B₁C₁ сторону BC?

Решение. По условию,  Используя теорему Менелая, находим

Пример 2. Докажем, что отрезки, соединяющие вершины тетраэдра с центроидами противоположных граней, пересекаются в одной точке, называемой центроидом тетраэдра, и делятся в ней в отношении 3:1, считая от вершин.

         Доказательство. Действительно, пусть ABCD – тетраэдр, A₂, D₂ – центроиды соответствующих граней, A₁ – середина BC, O – точка пересечения AA₂ и DD₂ (рис. 4).

Применим теорему Менелая к треугольнику A₁DD₂ и прямой AA₂. Имеем

         Так как A₂ – точка пересечения медиан треугольника BCD, то  Так как D₂ – точка пересечения медиан треугольника ABC, то  Поэтому  

         Заметим, что в таком же отношении делят отрезок DD₂ прямые BB₂ и CC₂. Следовательно, они также проходят через точку O и делятся в ней в отношении 3:1, считая от вершин.

Задача 1. Докажите, что если прямая пересекает стороны A₁A₂, …, A_nA₁ замкнутой ломаной A₁…A_n или их продолжения в точках B₁, …, B_n, соответственно, то имеет место равенство

Задача 2. Докажите, что точки A₁, B₁, C₁, D_1­, лежащие на ребрах AB, BC, CD и DA тетраэдра ABCD, принадлежат одной плоскости тогда и только тогда, когда выполняется равенство
    Рассмотрим теперь теорему, опубликованную в 1678 году итальянским математиком и инженером Джованни Чевой.
    Теорема (Чевы). Пусть на сторонах AB, BC и AC треугольника ABC взяты соответственно точки C₁, A₁ и B₁. Прямые AA₁, BB₁, CC₁ пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда

(*)

    Доказательство. Необходимость. Предположим, что прямые AA₁, BB₁, CC₁ пересекаются в точке O (рис. 5).

Применим теорему Менелая к треугольнику BCC₁ и прямой AA₁. получим равенство  Аналогично, применяя теорему Менелая к треугольнику ACC₁ и прямой BB₁, получим равенство  Перемножая эти два равенства, получим требуемое равенство.

Предложим еще один способ доказательства теоремы Чевы, использующий понятие площади. Предположим, что прямые AA₁, BB₁, CC₁ пересекаются в точке O (рис. 6).

Опустим из вершин A и B треугольника ABC перпендикуляры AA’, BB’ на прямую CC₁. Треугольники AC₁A’ и BC₁B’ подобны и, следовательно,

Аналогичным образом показывается, что

 и

Перемножая полученные равенства, будем иметь

    Достаточность. Пусть для точек A₁, B₁, C₁, взятых на соответствующих сторонах треугольника ABC выполняется равенство (*). Обозначим точку пересечения прямых AA₁ и BB₁через O и точку пересечения прямых CO и AB через C'. Тогда, на основании доказанного, имеет место равенство

Учитывая равенство (*), получим равенство

из которого следует совпадение точек C' и C₁и, значит, прямые AA₁, BB₁, CC₁ пересекаются в одной точке.
    Заметим, что из этой теоремы непосредственно следует, что медианы треугольника пересекаются в одной точке.
    Воспользуемся теоремой Чевы для установления еще одной замечательной точки треугольника.
    Пример 3. Докажем, что прямые, проходящие через вершины треугольника и точки касания вписанной окружности пересекаются в одной точке, называемой точкой Жергона.
    Доказательство. Пусть окружность касается сторон треугольника ABC соответственно в точках A₁, B₁,C₁ (рис. 7).

 Тогда AB₁ = AC₁, BC₁ = BA₁, CA₁ = CB₁. Следовательно,

и, значит, прямые AA₁, BB₁, CC₁ пересекаются в одной точке.

Задача 3. Докажите, что прямые, проходящие через вершины треугольника и точки касания вневписанных окружностей, пересекаются в одной точке (точка Нагеля). Окружность называется вневписанной в треугольник, если она касается одной стороны этого треугольника и продолжений двух других его сторон.

Задача 4. Докажите следующую теорему.

Теорема (Ван-Обеля). Пусть на сторонах AB, BC и AC треугольника ABC взяты соответственно точки C₁, A₁ и B₁ (рис. 5). Если отрезки AA₁, BB₁, CC₁ пересекаются в одной точке O, то

Задача 5. Используя теорему Ван-Обеля, выясните, в каком отношении делятся биссектрисы треугольника ABC (AB = c, AC = b, BC = a) точкой их пересечения.

  Теорема Стюарта. Пусть в треугольнике ABC  AB = c, AC = b, BC = a. Точка D делит сторону AB на отрезки AD = c’, DB = c” и CD = d. Тогда имеет место равенство d²c = a²c’ + b²c” – cc’c”.

Доказательство. Пусть СE – высота треугольника ABC (рис. 8).

По теореме косинусов, примененной к треугольникам ADC и BDC, имеем

b² = (c’)² + d² – 2c’DE,  a² = (c”)² + d² – 2c”DE.

Умножим первое равенство на c”, второе – на c’ и сложим. Получим b²c” + a²c’ = (c’+c”)c’c” + d²(c’+c”), из которого и следует требуемое равенство.

  Пример 4. Используя теорему Стюарта, вычислим биссектрису CC₁ =  треугольника по его сторонам AB =c, AC = b, BC = a.

         Решение. Воспользуемся тем, что биссектриса делит сторону треугольника на части, пропорциональные прилежащим сторонам. Обозначим AC₁ = c’, BC₁ = c”. Тогда c’ + c” = c и ac’ = bc”. Из этих двух уравнений находим c’ и c”.

, .

 Подставляя теперь эти выражения в равенство теоремы Стюарта, получим ()²c = a² + b² - c. Откуда

         Задача 6. Вычислите медианы треугольника ABC по его сторонам AB =c, AC = b, BC = a.

 

    Литература
    1. Адамар Ж. Элементарная геометрия. Часть I. Учпедгиз, Москва, 1948.
    2. Перепелкин Д.И. Курс элементарной геометрии. Часть I. ОГИЗ, Гостехиздат. Москва, Ленинград, 1948
    3. Зетель С.И. Новая геометрия треугольника. – М.: Учпедгиз, 1962.
    4. Кокстер Г.С.М. Введение в геометрию. – М.: Наука, 1966.
    5. Коксетер Г.С.М., Грейтцер С.Л. Новые встречи с геометрией. – М.: Наука, 1978.
    6. Прасолов В.В. Задачи по планиметрии. – Части I, II. – М.: Наука, 1986.