§ 3. КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ

Контрольная работа № 1

В а р и а н т 1

1. Найдите площадь равнобедренного треугольника по боковой стороне и высоте, опущенной на основание, которые равны соответственно 5 см и 2 см.

2. Найдите площадь параллелограмма, две высоты которого равны 3 см и 2 см, и угол равен 60°.

3. Площадь ромба равна 367,5 дм². Найдите диагонали ромба, если они относятся как 3 : 5.

4. Найдите площадь трапеции, у которой основания равны 19 см и 5 см, а боковые стороны 15 см и 13 см.

5*. Внутри треугольника ABC взята точка M такая, что площади треугольников AMB, BMC и AMC равны. Докажите, что M – точка пересечения медиан данного треугольника.

В а р и а н т 2

1. Найдите площадь равнобедренного прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна 9 см.

2. Найдите площадь параллелограмма, если его периметр и высоты равны соответственно 42 см, 8 см и 6 см.

3. Площадь ромба равна 45 дм². Высота меньше стороны на 4 см. Найдите диагонали ромба.

4. Найдите площадь равнобедренной трапеции, у которой боковая сторона равна 15 см, диагональ перпендикулярна боковой стороне и равна 20 см.

5*. Докажите, что сумма расстояний от точки, взятой внутри правильного треугольника до его сторон, есть величина постоянная, равная высоте данного треугольника.

Контрольная работа № 2

В а р и а н т 1

1. Найдите площадь правильного шестиугольника, вписанного в окружность, радиус которой равен 2 дм.

2. Площади двух кругов относятся как 9 : 4, а разность их радиусов равна 4,5 см. Найдите длины их окружностей.

3. Сектор, дуга которого содержит 60°, равновелик кругу радиуса 7,8 см. Найдите радиус сектора.

4. На стороне треугольника взята точка, которая разделила ее в отношении 3 : 5. Из точки проведены прямые, параллельные двум другим сторонам треугольника. Найдите площадь образовавшегося параллелограмма, если площадь треугольника равна 120 мм².

5*. Найдите отношение площадей данного треугольника и треугольника, сторонами которого являются медианы данного треугольника.

В а р и а н т 2

1. Найдите площадь правильного шестиугольника, описанного около окружности, радиус которой равен 3 дм.

2. Разность длин окружностей двух кругов равна длине окружности третьего круга, радиус которого равен 40 см. Найдите площади первых двух кругов, если их радиусы относятся как 5 : 3.

3. Найдите площадь сегмента круга, радиуса 4 см, если его хорда равна см.

4. Каждая сторона треугольника разделена точками в отношении 2 : 3 : 2. Найдите площадь шестиугольника, вершинами которого являются точки деления, если площадь треугольника равна 245 мм².

5*. В равностороннем треугольнике ABC, площадь которого равна Q, от вершины A на сторонах AB и AC отложены соответственно отрезки AE и AF, равные каждый третьей части стороны треугольника. Точки E и F соединены отрезками с противоположными вершинами, которые пересекаются в точке D. Найдите площадь образовавшегося четырехугольника AEDF.

Контрольная работа № 3

В а р и а н т 1

1. Найдите длину отрезка CD, если: а) C(0, -1), D(-5, 6); б) C(7, -3), D(-4, -4).

2. Найдите координаты середины отрезка QP, если : а) Q(-5, -8), P(25, 3); б) Q(-18, 6), P(6, 18).

3. Найдите координаты центра окружности x² + y² + 14 y – 18x + 135 = 0.

4. Найдите на оси абсцисс точку одинаково удаленную от точек E(-4, 2) и F(7, -4).

5*. Найдите ГМТ координатной плоскости, для которых |y + 2| £ 1.

В а р и а н т 2

1. Найдите длину отрезка EF, если: а) E(-1, 1), F(5, -12); б) E(-6, 0), F(-9, 7).

2. Найдите координаты середины отрезка RT, если : а) R(9, -17), T(0, -15); б) R(24, -6), T(-5, -8).

3. Найдите радиус и координаты центра окружности y² + x² – 22y + 10x + 134 = 0.

4. Найдите на оси ординат точку одинаково удаленную от точек G(7, 5) и H(-1, -3).

5*. Найдите ГМТ координатной плоскости, для которых |x – 1| ³ 2.

Контрольная работа № 4

В а р и а н т 1

1. В параллелограмме ABCD, диагонали которого пересекаются в точке O, найдите: а) ; б) ; в) .

2. Дан вектор (-5, 8). Найдите координаты точки: а) H, если G(-6, 1); б) G, если H(2, -10).

3. При каком значении m перпендикулярны векторы – и 2 + 3m, если (-1, 2), (6, -4).

4. Запишите уравнение прямой, которая имеет вектор нормали (5, -1) и проходит через точку K(10, -9).

5*. Докажите, что для любой точки X, принадлежащей отрезку AB и произвольной точки O плоскости справедливо равенство , где .

В а р и а н т 2

1. В треугольнике ABC медианы AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в точке M. Найдите: а) ; б) ; в) .

2. Дан вектор (9, -4). Найдите координаты точки: а) K, если N(1, -8); б) N, если K(-5, 4).

3. При каком значении n перпендикулярны векторы 2+ и n– 3, если (-2, 1), (3, -5).

4. Запишите уравнение прямой, которой принадлежит точка P(-12, 8) и которая имеет вектор нормали (-3, -4).

5*. Докажите, что для любой точки X, принадлежащей лучу AB и произвольной точки O плоскости справедливо равенство , где .

Контрольная работа № 5

В а р и а н т 1

1. Нарисуйте многоугольник, который задается неравенствами: а) б)

2. Найдите: а) sin(-135°); б) tg(-300°)ctg 210°.

3. Упростите выражение: а) ; б) .

4. Найдите декартовы координаты точки, если ее полярные координаты равны: а) (1, ); б) .

5*. Найдите ГМТ, координаты которых удовлетворяют равенству y = |x| + 2.

В а р и а н т 2

1. Нарисуйте многоугольник, который задается неравенствами: а) б)

2. Найдите: а) cos(-150°); б) tg(315°)ctg(-240°).

3. Упростите выражение: а) ; б) .

4. Найдите декартовы координаты точки, если ее полярные координаты равны: а) (2, -); б) .

5*. Найдите ГМТ, координаты которых удовлетворяют равенству |y| = x – 1.

*Контрольная работа № 6

В а р и а н т 1

1. Сколько прямых проходит через: а) одну точку; б) две точки; в) три точки?

2. Найдите сумму всех плоских углов пятиугольной пирамиды.

3. Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Найдите углы между прямыми: а) AB и BB₁; б) A₁C₁ и C₁D; в) AC и DC.

4. Наименьшее и наибольшее расстояния от точки, расположенной вне сферы до точек сферы равны соответственно 12 см и 75 см. Найдите радиус сферы.

5*. В каждой вершине выпуклого многогранника сходится по четыре ребра. Сколько у него вершин и граней, если он имеет 12 ребер? Изобразите этот многогранник (или многогранники).

В а р и а н т 2

1. Сколько плоскостей проходит через: а) одну точку; б) две точки; в) три точки?

2. Найдите сумму всех плоских углов шестиугольной призмы.

3. Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Найдите углы между прямыми: а) B₁C₁ и C₁C; б) BD и BC₁; в) DC₁ и D₁C.

4. Наибольшее и наименьшее расстояния от точки, расположенной внутри сферы до точек сферы равны соответственно 38 см и 19 см. Найдите радиус сферы.

5*. Гранями выпуклого многогранника являются только четырехугольники. Сколько у него вершин и граней, если он имеет 12 ребер? Изобразите этот многогранник (или многогранники).

ОТВЕТЫ

№ 1

В а р и а н т 1. 1. см². 2. см². 3. 21 дм, 35 дм. 4. 144 см².

В а р и а н т 2. 1. 20,25 см². 2. 72см². 3. , . 4. 192 см².

№ 2

В а р и а н т 1. 1. см². 2. 18 см, 27 см. 3. 7,8 см. 4. 56,25 мм. 5. 4 : 3.

В а р и а н т 2. 1. см². 2. 10000 см², 3600 см². 3. см². 4. 185 мм². 5. .

№ 3

В а р и а н т 1. 1. а) ; б) . 2. а) (10, -2,5); б) (-6, 12). 3. (9, -7), . 4. (, 0). 5. Полоса, ограниченная прямыми y = -3 и y = -1.

В а р и а н т 2. 1. а) ; б) . 2. а) (4,5, -16); б) (9,5, -7). 3. (-5, 11), . 4. (0, 4). 5. Точки вне полосы, ограниченной прямыми x = -1 и x = 3.

№ 4

В а р и а н т 1. 1. а) ; б) ; в) . 2. а) H(-11, 9); б) G(7, -18). 3. . 4. 5x – y – 59 =0.

В а р и а н т 2. 1. а) ; б) ; в) . 2. а) K(-8, -4); б) N(4, 36). 3. -36. 4. 3x + 4y +4 =0.

№ 5

В а р и а н т 1. 2. а) ; б) 3. 3. а) ; б) . 4. а) (0, 1); б) (, -). 5*. Два луча с вершиной в точке (0, 2), составляющих с осью Oy угол 45.

В а р и а н т 2. 2. а) ; б) . 3. а) ; б) 0. 4. а) (0, -2); б) (, ). 5*. Два луча с вершиной в точке (1, 0), составляющих с осью Ox угол 45°.

№ 6

В а р и а н т 1. 1. а) Бесконечно много; б) одна; в) одна или ни одной. 2. 1440°. 3. а) 90°; б) 60°; в) 45°. 4. 31,5 см. 5. 6 вершин, 8 граней; октаэдр, любая четырехугольная бипирамида.

В а р и а н т 2. 1. а) Бесконечно много; б) бесконечно много; в) одна или бесконечно много. 2. 3600°. 3. а) 90°; б) 60°; в) 90°. 4. 28,5 см. 5. 8 вершин, 6 граней; куб, любая четырехугольная призма и четырехугольная усеченная пирамида.