И.М. Смирнова, В.А. Смирнов

ЗАДАЧИ НА НАХОЖДЕНИЕ КРАТЧАЙШИХ ПУТЕЙ НА ПОВЕРХНОСТЯХ

Задачи на нахождение кратчайших путей относятся к экстремальным задачам и играют большую роль в математике и ее приложениях.

         Такие задачи часто встречаются и на различных олимпиадах по математике. Например, на Объединенной межвузовской математической олимпиаде 2011 года учащимся 11 класса была предложена следующая задача.

         На рисунке 1 изображен многогранник, все двугранные углы которого прямые. Саша утверждает, что кратчайший путь по поверхности этого многогранника от вершины X до вершины Y имеет длину 4. Прав ли он?

 

        

Здесь мы рассмотрим примеры таких задач и метод их решения, основанный на использовании разверток.

Задача 1. Найдите длину кратчайшего пути по поверхности единичного куба ABCDA₁B₁C₁D₁ (рис. 2), соединяющего вершины A и C₁.

 

 

Решение. Рассмотрим развертку, состоящую из двух соседних граней куба, изображенную на рисунке 3.

Кратчайшим путем из A в C₁ является отрезок AC₁, длина которого равна . Соответствующий путь на поверхности куба изображен на рисунке 4.

 

 

 

         Ответ. .

         Заметим, что путь из A в C₁ является не единственным. Имеется шесть таких путей, длины которых равны , проходящих через середины ребер BB₁, A₁B₁, A₁D₁, DD₁, CD и BC (рис. 5).

 

 

         Задача 2. Три ребра прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ (рис. 6) равны 5, 4, 3. Найдите длину кратчайшего пути по поверхности этого параллелепипеда, соединяющего вершины A и C₁.

 

 

Решение. Рассмотрим развертку, состоящую из двух соседних граней данного параллелепипеда, изображенную на рисунке 7.

         Кратчайшим путем из A в C₁ является отрезок AC₁, длина которого равна . Соответствующий путь на поверхности куба изображен на рисунке 8.

 

 

         Однако этот путь не является кратчайшим. Рассмотрим другие возможные развертки граней данного параллелепипеда (рис. 9).

 

 

         Длины соответствующих путей равны  и . Наименьшая длина равна . Соответствующий путь на поверхности данного параллелепипеда изображен на рисунке 10.

 

 

         Ответ. .

 

         Задача 3. Найдите длину кратчайшего пути по поверхности правильного единичного тетраэдра ABCD (рис. 11), соединяющего середины ребер AB и CD.

 

 

         Решение. Рассмотрим развертку, состоящую из двух соседних граней данного тетраэдра, изображенную на рисунке 12.

 

 

         Кратчайшим путем из E в F является отрезок EF, длина которого равна 1. Соответствующий путь на поверхности правильного тетраэдра изображен на рисунке 13.

 

 

         Ответ. 1.

 

         Задача 4. Найдите длину кратчайшего пути по поверхности правильного тетраэдра ABCD (рис. 14), соединяющего точки E и F, расположенные на высотах боковых граней в 7 см от соответствующих вершин тетраэдра. Ребро тетраэдра равно 20 см.

 

 

Решение. Одним из возможных путей является путь EHF. Его длина равна  см. Для нахождения другого пути рассмотрим развертку, состоящую из трех граней тетраэдра, изображенную на рисунке 15.

 

Длина пути EF равна 20 см. Легко видеть, что 20 < , следовательно, этот путь является кратчайшим. Соответствующий путь на поверхности правильного тетраэдра изображен на рисунке 16.

 

 

Ответ. 20 см.

 

Задача 5. Найдите длину кратчайшего пути по поверхности правильной треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ (рис. 17), соединяющего вершину A и середину D  ребра B₁C₁. Все ребра призмы равны 1.

 

 

Решение. Рассмотрим развертку, состоящую из двух боковых граней призмы, изображенную на рисунке 18.

 

Длина кратчайшего пути по этим граням призмы равна длине отрезка AD и равна . Однако путь из A в D может проходить не только по боковым граням, но и по боковой грани и основанию. Соответствующая развертка изображена на рисунке 19.

 

 

         В этом случае кратчайшим путем является отрезок AD, длина которого равна . Непосредственные вычисления показывают, что  < , следовательно, этот путь является кратчайшим. Соответствующий путь на поверхности призмы изображен на рисунке 20.

 

 

Ответ. .

 

Задача 6. Найдите длину кратчайшего пути по поверхности правильной шестиугольной призмы ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ (рис. 21), соединяющего вершины A и D₁. Все ребра призмы равны 1.

 

 

Решение. Рассмотрим развертку, состоящую из трех боковых граней призмы, изображенную на рисунке 22.

 

 

Длина кратчайшего пути по этим граням призмы равна длине отрезка AD₁ и равна . Однако путь из A в D₁ может проходить не только по боковым граням, но и по боковой грани и основанию. Соответствующая развертка изображена на рисунке 23.

 

В этом случае кратчайшим путем является отрезок AD₁, длина которого равна . Непосредственные вычисления показывают, что  < , следовательно, этот путь является кратчайшим. Соответствующий путь на поверхности призмы изображен на рисунке 24.

 

 

Ответ. .

 

Рассмотрим теперь задачу, предложенную на Объединенной межвузовской математической олимпиаде 2011 года учащимся 11 класса, формулировку которой мы привели в начале данной статьи.

Задача 7. На рисунке 25 изображен многогранник, все двугранные углы которого прямые. Найдите длину кратчайшего пути по поверхности этого многогранника, соединяющего вершины B и C₂.

 

 

Решение. Рассмотрим развертку трех граней этого многогранника, изображенную на рисунке 26.

 

Кратчайшим путем из точки B в точку C­₂ является отрезок BC₂, длина которого равна . Соответствующий путь на поверхности многогранника изображен на рисунке 27.

 

Ответ. .

 

Задача 8. На рисунке 28 изображен многогранник, все двугранные углы которого прямые. Найдите длину кратчайшего пути по поверхности этого многогранника, соединяющего вершины A и С₂.

 

Решение. Рассмотрим развертку двух граней этого многогранника, изображенную на рисунке 29.

 

Кратчайшим путем из точки A в точку C­₂ является отрезок AC₂, длина которого равна . Соответствующий путь на поверхности многогранника изображен на рисунке 30.

 

 

Ответ. .

 

Задача 9. На рисунке 31 изображен многогранник, все двугранные углы которого прямые. Найдите длину кратчайшего пути по поверхности этого многогранника, соединяющего вершины B и G₁.

 

 

Решение. Рассмотрим развертку, изображенную на рисунке 32, состоящую из двух боковых граней и части верхней грани этого многогранника.

 

Кратчайшим путем из точки B в точку G­₁ является отрезок BG₁, длина которого равна . Соответствующий путь на поверхности многогранника изображен на рисунке 33.

 

 

Ответ. .

 

         Рассмотрим теперь задачи на нахождение кратчайших путей на поверхностях круглых тел.

 

         Задача 10. Образующая и радиус основания цилиндра равны 1. Найдите длину кратчайшего пути по поверхности этого цилиндра, соединяющего центрально-симметричные точки A и B (рис. 34).

        

 

Решение. Разверткой боковой поверхности этого цилиндра является прямоугольник со сторонами  и 1, изображенный на рисунке 35.

 

Кратчайшим путем из точки A в точку B является отрезок AB, длина которого равна . Соответствующий путь на поверхности цилиндра изображен на рисунке 36.

 

         Ответ. .

 

         Задача 11. На внутренней стенке цилиндрической банки в трех сантиметрах от верхнего края висит капля меда, а на наружной стенке, в диаметрально противопо­ложной точке сидит муха (рис. 37). Найдите кратчайший путь, по кото­рому муха может доползти до меда. Радиус основания банки равен 10 см.

 

        

Решение. Разверткой боковой поверхности цилиндра является прямоугольник (рис. 38).

 

 

Конечно, кратчайшим путем между точками A и B является отрезок AB. Однако, чтобы муха могла попасть на внутреннюю сторону банки, ей нужно переползти через край в некоторой точке C. Рассмотрим точку B’ , симметричную точке B относительно стороны прямоугольника. Тогда отрезки BC и B’C равны, следовательно, длина кратчайшего пути равна длине отрезка AB’. Она равна . Соответствующий путь на поверхности банки изображен на рисунке 39.

 

        

Ответ. .

 

         Задача 12. Осевое сечение конуса –  правильный треугольник ABC со стороной 1. Найдите длину кратчайшего пути по поверхности этого конуса  из точки A в точку D – середину стороны BC (рис. 40).

 

 

         Решение. Разверткой боковой поверхности этого конуса является полукруг радиуса 1 (рис. 41).

 

Кратчайшим путем из точки A в точку D  является отрезок AD, длина которого равна . Соответствующий путь на поверхности конуса изображен на рисунке 42.

 

Ответ. .

 

Метод нахождения кратчайших путей на сфере отличается от рассмотренного, поскольку сферу или ее часть нельзя развернуть на плоскость. Ознакомиться с ним можно в учебнике:

Смирнова И.М., Смирнов В.А. Геометрия 10-11 классы: учебн. для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни). –  6-е изд. – М.: Мнемозина, 2011.